Espacios vectoriales

 Un espacio vectorial es una estructura algebraica que consta de un conjunto de elementos, llamados vectores, junto con dos operaciones, suma de vectores y multiplicación por un escalar, que satisfacen ciertos axiomas. Estos axiomas definen las propiedades fundamentales de los espacios vectoriales y permiten realizar operaciones algebraicas coherentes dentro de ellos.

Los ocho axiomas que deben cumplirse para que un conjunto sea un espacio vectorial son los siguientes:

1. Cerradura bajo la suma: La suma de dos vectores en el conjunto siempre da como resultado otro vector en el conjunto.

2. Asociatividad de la suma: La suma de vectores es asociativa, es decir, (u + v) + w = u + (v + w), para todos los vectores u, v y w en el conjunto.

3. Existencia de vector cero: Existe un vector cero en el conjunto que, al sumarse con cualquier vector del conjunto, da como resultado el mismo vector.

4. Existencia de inverso aditivo: Para cada vector u en el conjunto, existe un vector opuesto (-u) en el conjunto tal que u + (-u) = 0.

5.Cerradura bajo la multiplicación por un escalar: La multiplicación de un vector por un escalar en el conjunto siempre da como resultado otro vector en el conjunto.

6. Distributividad de la suma respecto a la multiplicación escalar: Para todos los escalares a y b, y para cualquier vector u en el conjunto, se cumple que (a + b)u = au + bu.

7. Distributividad de la multiplicación escalar respecto a la suma de vectores: Para cada escalar a y para cualquier par de vectores u y v en el conjunto, se cumple que a(u + v) = au + av.

8. Asociatividad de la multiplicación escalar: Para cada escalar a y b, y para cualquier vector u en el conjunto, se cumple que (ab)u = a(bu).

Un subespacio vectorial es un conjunto que cumple con los ocho axiomas de los espacios vectoriales y, además, es un subconjunto de otro espacio vectorial más grande. Esto significa que todos los elementos del subespacio también son elementos del espacio vectorial más grande y heredan las operaciones y propiedades de este.

Las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio son:

1. Contiene al vector cero: El subconjunto debe contener el vector cero del espacio vectorial más grande.

2. Cerradura bajo la suma: La suma de dos vectores en el subconjunto siempre da como resultado otro vector en el subconjunto.

3. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar: La multiplicación de un vector del subconjunto por un escalar siempre da como resultado otro vector en el subconjunto.

La dimensión de un subespacio vectorial se refiere al número máximo de vectores linealmente independientes que pueden generar ese subespacio. Es la cantidad mínima de vectores necesarios para expresar cualquier vector dentro del subespacio mediante una combinación lineal de ellos. El rango de un subespacio es igual a su dimensión.

Una base de un subespacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el subespacio. Estos vectores son suficientes para representar cualquier vector dentro