Solución de ejercicios de relaciones

 1. Determine cuáles de las siguientes son relaciones de A = {a, b, c} en B = {1, 2}:

(a) R1 = {(a, 1), (a, 2), (c, 2)} 

R/: Si son relaciones A en B

(b) R3 = {(c, 1), (c, 2), (c, 3)}

R/: No son relaciones de A en B porque “3” no pertenece a ninguno de los 2 conjuntos

2. ¿Cuáles son los rangos de las relaciones: S = {(x, x2) | x ∈ N} y T = {(x, 2x) | x ∈ N} donde: N = {0,1, 2, …}?

R/: 

- El rango de S son todos los números (y) que son el resultado de elevar un entero positivo al cuadrado (cuadrados perfectos) { y | x2 = y , x ∈ }

- El rango de T son todos los números pares { 2 k | k ∈ N }

3. Para la siguiente relación, indique si es: reflexiva, no reflexiva, simétrica o transitiva: Sean (x) e (y) niños, y sea xRy verdadera si (x) es un hermano de (y) o si (x) = (y).

R/: 

- Es reflexiva ya que, es verdad si x=y por lo que las relaciones de la forma (x,x) hacen parte del conjunto de las relaciones R.

- Es simétrica ya que, si “x” es hermano de “y”, entonces “y” también es hermano de “x” por ende las relaciones (x,y) y (y,x) son válidas.

- Es transitiva ya que, si “x” es hermano de de “y” e “y” es hermano del tercer sujeto “z”, entonces “x” también es hermano de “z”   

{(((x,y) ∈ R ˄ (y,z) ∈  R)  (a,z) ∈ R)}

4. Para cada una de las siguientes relaciones (sobre el conjunto de los seres humanos), indique sus propiedades xRy representa que x e y tienen los mismos padres.

R/: Seria una relación reflexiva

5. Sea R = {(1, a), (2, b), (1, c)} y S = {(a, A), (a, B), (c, D). Calcular R o S

R/: R v S= (1, c),(c,D)

Solucionando problemas, caminos y circuitos mediante grafos

1. Explica cómo se pueden utilizar dos grafos de llamadas, uno con las llamadas hechas durante el mes de enero y el otro con las hechas durante el mes de febrero, para determinar el nuevo número de teléfono de las personas que hayan cambiado de número.

Respuesta: Al tomar los 2 grafos se podría comparar las 2 rutas y así veríamos cuales personas cambiaron de número de teléfono, donde los números telefónicos se representan con aristas y las personas con vértices. 

2. ¿Cómo se puede utilizar un grafo que represente los mensajes de correo electrónico enviado en una red para encontrar a personas que hayan cambiado recientemente su dirección principal de correo electrónico?

Repuesta: A través de un multígrafo el cual nos aporta líneas unidireccionales múltiples, podríamos ver los movimientos de unos contactos a otros y así poder determinar los cambios en su dirección de correo sin embargo es importante enfocarse en los vértices de grado 0, al no ser adyacente a otros vértices 

Repuesta: Los vértices representan las direcciones de correo electrónico y las aristas representan los mensajes de correo electrónico, se podría utilizar un multígrafo dirigido para encontrar por medio do contactos de otros contactos, aquellos que hayan cambiado de dirección de correo, esta sería una forma útil de encontrar estas nuevas direcciones de correo electrónico. Claro que algunas tendrían grado 1 y serian colgantes estas no servirían para encontrar direcciones nuevas, y otras tendrían grado 0, estas serian aisladas y serian las direcciones que no se encontraron.

3. Describe un grafo que represente matrimonios. ¿Tiene este grafo alguna propiedad especial?

Repuesta: Sería un multígrafo dirigido el cual tres vértices tienen conexiones compartidas por medio de aristas dirigidas y uno o varios vértices que representan hijos comparten aristas con vértices totalmente diferentes. Estos grafos tienen propiedades de multígrafos dirigidos, con grados de entrada y de salida. Pueden ser de ciclos y caminos eulerianos o hamiltonianos.

4. Describe una estructura discreta basada en un grafo que se pueda utilizar para representar relaciones entre pares de individuos de un grupo suponiendo que cada individuo puede serle simpático, antipático o indiferente a cada uno de los demás individuos y que las relaciones pueden no ser recíprocas (Indicación: Dota de estructura a un grafo dirigido. Trata por separado las aristas con direcciones opuestas entre vértices que representen a dos individuos)

Repuesta: Se puede representar con un multígrafo dirigido, podemos ver que 1 y 2 tienen simpatía, tanto 1 y 4 como 2 y 3 se pueden representar con una arista no dirigida que representa antipatía, el 3 hacia el 4 presenta simpatía, pero el 4 hacia el 3 es indiferente.

Operaciones de Conjuntos

  Sea A = (a, e, i, o, u} (donde el conjunto universal es el abecedario). Entonces, Ā = {b, c, ch, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ, p, q, r, s, t. v, w, x, y, z}.

Sea A el conjunto de los enteros positivos mayores que 10 (el conjunto universal es el conjunto de todos los enteros positivos). Entonces, Ā = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

 En relación con lo anterior, realice la actividad propuesta a continuación y publíquelo en su blog Portafolio bajo el nombre: Operaciones de conjuntos

Sea el conjunto universal de todas las personas. Dentro de este conjunto, A es el conjunto de los analistas de sistemas, B el de los contables, C el de las mujeres y D el de las personas mayores de 40 años. Calcule lo siguiente:

El conjunto de todas las mujeres analistas de sistemas que sean al mismo tiempo contables. 

El conjunto de todos los hombres contables mayores de 40 años. 

El conjunto que incluya todas las mujeres analistas de sistemas, menores de 40 años y todos los contables menores de 40 años.

Hallar la unión, la intersección y el conjunto diferencia de A y B, donde A = {1,3,4,5} y B = {3,5,7,8}

Sea E = {0,1, 2, …,9}, X = {2,3,4}, Y = {1,2,5} y Z = {2,5,7}. 

Hallar: – (X U Y), -X U -Y, X U (Y ∩ Z) y (X U Y) ∩ Z.

Solución:

1. sea el conjunto universal de todas las personas dentro de ese conjunto, A es el conjunto de los analistas de sistemas, B el de los contables C el de las mujeres y D el de las personas mayores de 40 años. Calcule lo siguiente:

a. el conjunto de todas las mujeres analistad de sistemas que sean al mismo tiempo contables

    a= (C ∩ A ∩ B) 

b. el conjunto de todod los hombres contables mayores de 40 años

    b= (B ∩ D) - C

c. el conjunto que incluya todas las mujeres analistas de sistemas menores de 40 años y todos los contables menores de 40 años

    c= (C U B) - D

2. Hallar la unión, la intersección y el conjunto diferencia de A y B, donde A= {1,3,4,5} y B= {3,5,7,8}

    

. Sea A el conjunto de todos los estudiantes de una universidad, y se B el conjunto de todas las asignaturas ofertadas en la universidad. 

¿Cuál es el producto cartesiano A x B?, explique.

 

2. Determine si cada uno de estos pares de conjuntos son iguales 

a. {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5}, {5, 3, 1} 

b. {{1}}, {1,{1}} 

c. Ø, {Ø}. 

3. Determine si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa.

 a. 0 ∈ Ø 

b. Ø ∈ {0} 

c. {0} ⊂ Ø

 4. Utilice un diagrama de Venn para ilustrar la relación: A ⊆ B y B ⊆ C

Solución:

1. sea A el conjunto de todos los estudiantes de una universidad y sea B el conjunto de todas las asignaturas ofertadas en la universidad ¿Cúal es el producto cartesiano AxB?, explique.

R/. A= todos los estudiantes de la universidad

B= asignaturas ofertadas

entonces AxB= todas las posibles matriculas de los estudiantes de la universidad

ejemplo: Sean A= {1,2} y B={a,b,c}

entonces AxB ={(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

2. determine si cada uno de estos pares de conjuntod son iguales

a. {1,3,3,3,5,5,5,5,5}, {5,3,1}

R/. si son iguales

b. {{1}}, {1{{1}}

R/. no son iguales

c. Determine si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa.

 a. 0 ∈ Ø FALSA

b. Ø ∈ {0} FALSA

c. {0} ⊂ Ø FALSA

utiliza un diagrama de Venn para ilustrar la relacion: A ⊆ B y B ⊆ C

Construcción de tablas de verdad de proposiciones

 1. Considere las siguientes afirmaciones:

- Él o no está informado o él no es honesto 

- No es verdadero que él esté informado y sea honesto

 ¿Son lógicamente equivalentes? (Demostrar)

2. Considere las siguientes afirmaciones:

- Si las mercancías no fueron entregadas, el cliente no puede haber pagado

-Si el cliente ha pagado, las mercancías deben de haber sido entregadas 

¿Son contrarrecíprocas? (Demostrar). 

3.Determine los valores de verdad de los enunciados siguientes. 

- Si 7 < 2, entonces -2 < -7 

- 2 + 2 = 5 sii 4 + 4 = 10

- 1 + 1 = 2 sii 4 + 4 = 10

4. Sean p y q los enunciados: “Está permitido nadar en la costa de Nueva Jersey” y “Se han divisado tiburones cerca de la costa”, respectivamente. Expresa cada una de las siguientes fórmulas en lenguaje natural. 

4. p Λ q

5. p ↔ – q

Solución: 

1.

- Sea p “él está informado”

- Sea q “él es honesto” 

Proposición 1: no p o no q (¬p v ¬q) 

Proposición 2: no p y q [¬(p ∧ q) = ¬p ∧ ¬q ]

2.

- sea p “el cliente ha pagado”

- sea q “las mercancías han sido entregadas”

Proposición 1: no “q” implica no “p” o ¬q → ¬p

Proposicion2: “p” implica “q” o p →q 

Se observa que la proposición 1 es el contrarrecíproco de la proposición 2

3.

 1. V

 2. V

 3. F

4.

 4. Está permitido nadar en la costa de Nueva Jersey y se han divisado tiburones cerca de la costa

 5. Está permitido nadar en la costa de Nueva Jersey si, y sólo si, no se han divisado tiburones cerca de la costa

Conversion de sistemas numéricos en diferente base

 

1. Convertir de decimal a binario:

• 34D${34}_D$   = 100010

• 29D${29}_D$  = 11101

2. Convertir de decimal a octal:

• 81D${81}_D$  = 121 en base 8

• 124D${124}_D$  = 174 en base 8

3. Convertir de decimal a hexadecimal:

• 72D${72}_D$ = 48 en base 16
• 210D${210}_D$  = D2 en base 16

4. Convertir de binario a octal:

• 10110010B${10110010}_{\mathrm{B\; =\; 262\; base\; 8}}$
• 10100001B${10100001}_{\mathrm{B\; =\; 241\; base\; 8}}$

5. Convertir de binario a decimal:

• 1010101010B${1010101010}_B$  = 682 base 10
• 110011B${110011}_B$ = 51 base 10

Presentación Matemáticas Discretas

Mi nombre es Jenifer Restrepo

Las matemáticas discretas son un área de las matemáticas que tienen como objetivo el estudio de elementos finitos o infinitos, siempre que estos sean numerables.

Por tanto, su ámbito es el de aquello que se puede contar como números enteros, sentencias lógicas o grafos. Este tipo de matemáticas son fundamentales para, entre otras, las ciencias de la computación, ya que usan conjuntos numerables.