Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

 Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

Solucion de sistemas de ecuaciones lineales usando matrices

resumen sobre los diferentes métodos que se aplican para solucionar sistemas de ecuaciones utilizando las matrices

Definiciones:

Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de mn elementos dispuestos en m filas y n columnas.

Matriz transpuesta es la matriz que se le intercambian las filas for las columnas siendo T(aij) = bij = aji

Matriz simétrica es la matriz que su transpuesta es igual a la original, y antisimétrica es la matriz que su transpuesta es igual a la original con signo negativo.

Las matrices diagonales y triangulares juegan un papel importante en la descomposición de matrices que sustentan los algoritmos mas importantes del algebra lineal.

La diagonal principal de la matriz está conformada por aquellas entradas donde los subíndices son iguales i =j.

(i) Filas (j) Columnas

Una matriz es diagonal si y solo si todas las entradas de la diagonal son diferentes de cero y el resto son ceros.

Una matriz es triangular superior si y solo si todas las entradas donde los subíndices son i>j son cero.

Una matriz es triangular inferior si y solo si todas las entradas donde los subíndices son i<j son cero.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas AX = b es soluble si existe al menos un vector S de n componentes constantes tal que AS = b. A un sistema que carece de solución lo llamamos no soluble o inconsistente.

Hay operaciones elementales de fila.

1. Sustraer a una fila un múltiplo de otra

2. Intercambiar dos filas

3. Multiplicar una fila por una constante diferente de cero

Método de Gauss-Jordan

Es un algoritmo para eterminar simultaneamente si una matriz cuadrada A tiene inversa y también resolver el sistema de ecuaciones.

Determinante

El determinante es una propiedad de las matrices que se obtiene realizando diferentes algoritmos. Esta propiedad contiene información obre la matriz y la solubilidad del sistema de ecuaciones

Regla de Cramer.

Es un método que usa determinantes para hallar la solución al sistema de ecuaciones.

Responder a las siguientes preguntas:

a. ¿Cual de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

sin lugar a dudas el método de Gauss-Jordan es más eficiente computacionalmente.

b. ¿Que ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

Los métodos con determinante para solucionar sistemas de ecuaciones previenen de realizar cálculos en exceso ya que el determinante del sistema no puede ser cero. ya que para usar la regla de Crammer la matriz debe necesariamente ser invertible.

c. Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

Método de cofactores: consiste en escoger una fila o una columna, para cada término de la fila o columna, llamados cofactores, quitamos la fila o columna en la que está y lo que queda es el menor.

Después, multiplicar el valor del menor por el cofactor y por su signo y sumar lo de todos los cofactores

El determinante de una matriz de orden n se puede calcular de n^2 maneras diferentes ya que el desarrollo por cofactores se puede realizar por filas o por columnas.

Método de Sarrus: también llamado la estrella de David consiste en 2 partes, la primera es sumar la multiplicación de la diagonal, más la multiplicación del primer triángulo formado a la derecha de este y su inverso, a esto se le resta la multiplicación de la diagonal secundaria más el triángulo formado a su derecha más su inverso

Método único para matrices de 3x3: Este método consiste en aumentar a la derecha las dos primeras columnas o abajo las dos primeras filas de tal manera que con estas obtengamos la multiplicación de las diagonales principales y sumar sus productos de cada una y restar de este valor la suma de las multiplicaciones de las otras diagonales.