PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Primer punto: Plantear el sistema de ecuaciones para hallar un número de tres cifras sabiendo que la suma de sus cifras es 11, que la suma de la primera y la tercera cifra es 5 y que la segunda cifra es el doble de la tercera.
Y=0
Z=0
X+Y+Z=11
X+Z=5
Y=2Z
Sustituimos en la primera ecuación y que es igual a 2Z.
X+2Z+Z=11 à
X+3Z=11
X+Z=5
Y=2Z
Me quedan las dos primeras ecuaciones con dos incógnitas:
Resuelvo estas por reducción, realizando la resta:
X+3Z=11
- X+Z=5
__________________
2Z=6 --àZ=3
Reemplazo Z en la tercera ecuación:
Y=2(3)à Y= 6
Reemplazo Z en la primera ecuación y hallamos X.
X+2(3)+3=11àX=2
X= 2, Y= 6 , Z= 3
Entonces el numero es 2 6 3.
Segundo punto: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss
x + 2y - 3z = -16
3x + y - 2z = -10
2x - 3y + z = -4
Hacemos la matriz aumentada:
X Y Z
1 2 -3 -16 3 1 -2 -10
2 -3 1 -4
La celda (2, 1) la convertimos en cero, entonces F2* 3 -F3*2
1 2 -3 -16
0 11 -7 -22
2 -3 1 -4
La celda (3,1) la convierto en cero, entonces 2F1-F3
1 2 -3 -16
0 11 -7 -22
0 7 -7 -28
Dividimos la F3 entre 7
1 2 -3 -16
0 11 -7 -22
0 1 -1 -4
Encontramos el cero en la celda (3,2) entonces 11F3-F2
1 2 -3 -16
0 11 -7 -22
0 0 -4 -22
_4z=-22->Z =-22/-4àZ=5.5
11Y-7(5.5)=-22->y= 11Y -38.5=-22àY= 16.5/11àY=1.5
X+2(1.5)+(-3)(5.5)=-16àx+3-16.5=-16àX=13.5-16àX=-2.5
x + 2y - 3z = -16 à 5.5+3+7.5=-16à16=16
Tercer Punto Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales
x + y + z = 3
2y + 3z = 15
2x + 4y +5z = 21
a: Y= -x-z+3
Sustituyo el valor de Y de la primera ecuación en la segunda ecuación.
2(x-z+3)+3z=15
2x-2z+6+3z=15à2x+z=9
Reemplazo Y en la tercera ecuación:
2x+4(-x-z+3)+5z=21à2x-4x-4z+12+5z=21à
-2x+z=9
- 2x+z=9 despejamos z à
z=9+2x y reemplazo en la siguiente ecuación
6x+9+2x=9à 8x=0à x=0/4--àX=0
Reemplazo x en la anterior del valor de Z
z=9-2x
Z=9-2(0)-àz=9
Tenemos el valor z y el valor x lo reemplazamos en la primera en que despejamos Y ósea en a.
Y=9-0+3-ày=12
x + y + z = 3 -à 0+12+3=12
Reemplazamos en cualquier ecuación para comprobar la igualdad:
Utilizo el método de determinantes o regla de Cramer:
1 1 1 3 Repetimos debajo de tercera fila las 2 primeras
0 2 3 15
2 4 5 21
1 1 1 3
0 2 3 15
(1* 2 * 5+ 0*4*1+ 2*1 *3)-(1*2*2+3*4*1+5*1*0)
(10+0+6)-(4+12+0)= 16-16 =0 El determinante del sistema es cero ∆s=0
Buscamos el determinante de X y en la columna de X colocamos los términos independientes.
3 1 1 1 1
15 2 3 15 2
21 4 5 21 4
(30+63+60)-(75+12+42)= 153-129= 24
∆x=24
Buscamos el determinante de Y, en la columna de Y colocamos los términos independientes.
1 3 1 0 15 3
2 21 5
1 3 1
0 15 3
(75+21+18)-(30+63+15)=114-108= 6
∆Y=6
Buscamos el determinante de Z, en la columna de Z colocamos los términos independientes.
1 1 3 1 1
0 2 15 0 2
2 4 21 2 4
(42+30+0)-(0+60+12)= 72-72 =0
∆Z=0
Tenemos: ∆x/∆s= 24/0=0
∆y/∆s= 6/0=0
∆z/∆s= 0/0=0
El sistema no tiene solución
La diferencia es que, en la eliminación Gaussiana, se hacen ceros debajo de la diagonal principal, y entonces queda la última incógnita que se despeja inmediatamente, después se va a la penúltima ecuación que ha quedado y se despeja la penúltima incógnita y así sucesivamente.
El método de Gauss-Jordán continúa haciendo operaciones de suma de filas haciendo que por encima de la diagonal principal también haya ceros con lo cual queda una matriz diagonal y las incógnitas se despejan sin más que hacer una división. Yo prefiero el método primero, es muy pesado ir escribiendo la matriz tantas veces y en esta página aún más.
La ventaja de utilizar Gauss Jordán es que transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordán continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier i diferente de J ).
!Muy importante! Para tener en cuenta:
Muestre la matriz ampliada original de cada sistema de ecuaciones en cada uno de los puntos. Indique las operaciones elementales y cada matriz resultante después aplicar cada paso. En cada punto debe hacer una reflexión si el sistema tiene solución, si es única y en caso de no tenerla, por qué no la tiene. Si requiere de más espacio para el desarrollo puede agregar páginas necesarias
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