Espacios Vectoriales

 Un espacio vectorial es un conjunto no vacío 

$V$ de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores $u$, $v$ y $w$ en $V$ y todos los escalares $\alpha$ y $\beta$ reales.
Llamamos $u+v$ a la suma de vectores en $V$, y $\alpha v$ al producto de un número real $\alpha$ por un vector $v\in V$.

1. $u+v\in V$
2. $u+v=v+u$
3. $\left(u+v\right)+w=u+\left(v+w\right)$
4. Existe un vector nulo $0_V\in V$ tal que $v+0_V=v$
5. Para cada $v$ en $V$, existe un opuesto $\left(–v\right)\in V$ tal que $v+\left(–v\right)=0_V$
6. $\alpha v\in V$
7. $\alpha \left(u+v\right)=\alpha u+\alpha v$
8. $\left(\alpha +\beta \right)v=\alpha v+\beta v$
9. $\alpha \left(\beta v\right)=\left(\alpha \beta \right)v$
10. $1v=v$

Observación: En la definición anterior, cuando decimos «escalares» nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que V  es un espacio vectorial real.