Tarea: Informe - Transformaciones lineales

 

Tarea: Informe - Transformaciones lineales

 

 

 

 

 

 

 

JENIFER RESTREPO MONSALVE

 

 

 

 

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA PASCUAL BRAVO

FACULTAD DE INGENIERÍA

TECNOLOGÍA EN DESARROLLO DE SOFTWARE

2023

 

Tarea: Informe - Transformaciones lineales

 

 

 

 

 

 

1.       ¿Qué es una transformación lineal?

Una transformación lineal es una función matemática que mantiene las propiedades de linealidad, es decir, la aditividad y homogeneidad de la multiplicación por un escalar, y se utiliza para transformar vectores de un espacio vectorial en otro espacio vectorial. En términos más simples, una transformación lineal es una operación matemática que convierte un vector de un espacio en otro espacio, manteniendo la linealidad.

 

2.       ¿Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal?

Para que exista una transformación lineal, se deben cumplir dos condiciones fundamentales:

 

La aditividad: T(u + v) = T(u) + T(v) para cualquier par de vectores u y v en el espacio vectorial.

La homogeneidad: T(cu) = cT(u) para cualquier vector u en el espacio vectorial y cualquier escalar c.

3.       Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Las transformaciones lineales tienen varias propiedades y teoremas, algunos de los cuales se enumeran a continuación:

·         Teorema de la imagen: El rango de una transformación lineal es el conjunto de todas las posibles imágenes de un espacio vectorial.

·         Teorema del núcleo: El núcleo de una transformación lineal es el conjunto de todos los vectores del espacio vectorial que se mapean en el vector nulo del espacio de llegada.

·         Teorema de la dimensión: El teorema de la dimensión establece que la dimensión del núcleo más la dimensión del rango de una transformación lineal es igual a la dimensión del espacio vectorial de partida.

·         Teorema del isomorfismo: El teorema del isomorfismo afirma que si una transformación lineal es biyectiva, entonces los espacios vectoriales de partida y llegada son isomorfos, es decir, tienen la misma estructura algebraica.

·         Propiedad de composición: La composición de dos transformaciones lineales es también una transformación lineal.

 

 

 

 

 

 

4.       Un ejemplo de una transformación lineal.

Un ejemplo común de una transformación lineal es la rotación de un vector en un plano. Supongamos que tenemos un vector v = (x, y) y queremos rotarlo 90 grados en sentido antihorario. La transformación lineal de la rotación se puede representar mediante la matriz de transformación:

R = [0 -1]

    [1  0]

Aplicando la multiplicación matricial, podemos calcular la imagen de v bajo la transformación lineal de rotación:

Rv = [0 -1] [x] = [-y]

     [1  0] [y]   [x ]

 

Por lo tanto, la imagen de v después de la rotación es (-y, x).

 

5.       Cómo probar una transformación lineal:

Para probar que una transformación es lineal, debemos verificar que cumple con las dos propiedades básicas de linealidad: la aditividad y la homogeneidad. Es decir, que para cualquier par de vectores u y v, y cualquier escalar a, se cumpla que:

 

T(u + v) = T(u) + T(v)

T(a u) = a T(u)

 

Además, también podemos comprobar si se cumple la condición de preservar la estructura vectorial, es decir, si para cualquier par de vectores u y v, se cumple que:

 

T(u + v) = T(u) + T(v)

T(c u) = c T(u)

 

Donde c es un escalar. Si todas estas condiciones se cumplen, entonces podemos concluir que la transformación es lineal.